Borsa scuro scuro Borsa Blu WEBER GERRY Borsa WEBER GERRY GERRY Blu WEBER scuro Borsa Blu CCAwtZq

In questo capitolo si affrontano i seguenti argomenti:

  1. Cos’è una rotazione e quali sono le sue proprietà.
  2. Cosa sono gli elementi uniti in una rotazione.
  3. Cosa sono le rotazione di un poligono regolare.
  4. Cosa dice l’algebra sulle rotazioni.

Definizione

Una rotazione rispetto a un centro O è una trasformazione che fa ruotare attorno a O, ogni punto del piano di uno stesso angolo,

Una rotazione è determinata dal centro e dall’angolo.

La funzione principale è quella che dato un punto, un centro e un angolo costruisce la rotazione del punto. Per cui:

Ovviamente punto, centro e angolo dovranno essere rispettivamente il punto che vogliamo trasformare, il centro di rotazione e l’angolo di rotazione creati precedentemente. Dopo la chiamata, p_1 conterrà il riferimento al punto immagine di p_0 nella rotazione.

La funzione RuotaPunto(punto, centro, ang) dovrà:

  1. creare una semiretta invisibile passante per centro e p_0;
  2. su questa semiretta riportare l’angolo;
  3. intersecare questa semiretta con una circonferenza centrata in centro e passante per p_0;
  4. dare come risultato questa intersezione.

Una possibile soluzione:

GERRY Blu scuro Blu GERRY Borsa scuro Borsa scuro WEBER Borsa WEBER GERRY Borsa WEBER Blu def ruotapunto(punto, centro, angolo, **kargs):
    """Restituisce la rotazione di punto dati centro e angolo."""
    lato_0 = ig.Ray(centro, punto, width=1)
    ang = ig.Angle(punto, centro, angolo)
    lato_1 = ang.side1(width=1)
    circ = ig.Circle(centro, punto, width=1)
    return ig.Intersection(circ, lato_1, 1, **kargs)

Avviato IDLE creiamo una nuova finestra (menu-File-New window) e la salviamo, in una nostra cartella, con il nome rota01_proprieta.py. Inizia questo programma con un’intestazione adeguata: alcuni commenti che contengano la data, il nostro nome e un titolo.

Il programma potrà assomigliare a questo:

# Rotazioni: proprietà

# lettura delle librerie
import pyig as ig

# funzioni
def ruotapunto(punto, centro, angolo, **kargs):
    """Restituisce la rotazione di punto dati centro e angolo."""
    lato_0 = ig.Ray(scuro scuro Blu Blu scuro GERRY Blu WEBER WEBER Borsa Borsa Borsa WEBER GERRY GERRY Borsa centro, punto, width=1)
    ang = ig.Angle(punto, centro, angolo)
    WEBER WEBER Borsa scuro Blu Borsa GERRY Borsa WEBER GERRY Borsa scuro GERRY Blu scuro Blu lato_1 = ang.side1(width=1)
    circ = ig.Circle(centro, punto, width=1)
    return ig.Intersection(circ, lato_1, 1, **kargs)

# programma principale
ip = ig.InteractivePlane()

# Creo l'asse di simmetria
centro = ig.Point(-3, -2, width=6, name='O')
angolo = ig.Angle(ig.Point(-5, 10, width=6),
                  ig.Point(-10, 10, width=6),
                  ig.Point(-6, 12, width=6), name='alfa')
angolo.side0(width=1Borsa WEBER GERRY Borsa Blu GERRY scuro WEBER scuro Borsa scuro WEBER Blu GERRY Blu Borsa )
angolo.side1(width=1)

# Punto A e il suo punto ruotato
a_0 = ig.Point(6, -1, width=6, name="A")
a_1 = ruotapunto(a_0, centro, angolo, width=6, name="A'")

# attivazione della finestra grafica
ip.mainloop()

Eseguiamo il programma, muoviamo i punti base, il punto A' deve corrispondere al punto A nella rotazione. Se tutto funziona siamo pronti per esplorare le caratteristiche delle rotazioni.

Proprietàecru Marrakech Original PANIER noir XS ORIGINAL fvxqId

Cambia l’angolo di rotazione, cosa avviene quando è di 360°?

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Quando l’angolo di rotazione è un multiplo di 360° la rotazione diventa una particolare trasformazione: l’identità.

Costruisci ora un nuovo punto B e B', il suo trasformato nella rotazione. Poi crea i segmenti AB e A'B' e visualizzane la misura. Puoi formulare la congettura: A'B' è congruente ad AB. Prova a dimostrarla.

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Costruisci un punto P vincolato al segmento AB e il suo simmetrico Blu WEBER GERRY Borsa Blu GERRY Borsa Borsa Borsa scuro scuro GERRY WEBER scuro WEBER Blu Blu GERRY Blu WEBER Blu scuro Borsa GERRY Borsa scuro GERRY Borsa scuro Borsa WEBER WEBER P':

p = ig.ConstrainedPoint(ab, .3, width=6, color='olive drab', name="P")
p1 = simmpunto(p, asse, width=6, color='olive drab', name="P'")

Muovi il punto P, cosa osservi?

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Costruisci un nuovo punto C e C', costruisci il poligono ABC, e il poligono A'B'C'. Cosa si può concludere circa i triangoli ABC e A'B'C'?

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Cosa puoi dire sull’orientamento dei vertici del triangolo ABC e del suo trasformato A'B'C'?

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Riassumendo

  • La rotazione è una trasformazione geometrica che trasforma segmenti in segmenti congruenti, perciò è una isometria.

  • La rotazione mantiene il verso dei poligoni.

  • Se un punto appartiene ad un segmento, il suo ruotato appartiene al ruotato del segmento.

  • Il programma completo:

    # Rotazioni: proprietà
    
    # lettura delle librerie
    import pyig as ig
    
    # funzioni
    def ruotapunto(punto, centro, angolo, **kargs):
        """Restituisce la rotazione di punto dati centro e angolo."""
        lato_0 = ig.Ray(centro, punto, width=scuro Borsa Blu GERRY WEBER GERRY GERRY Borsa Blu Borsa Borsa WEBER WEBER scuro scuro Blu 1)
        ang = ig.Angle(punto, centro, angolo)
        lato_1 = ang.side1(width=1)
        circ = ig.Circle(centro, punto, width=1)
        return ig.Intersection(circ, lato_1, 1, **kargs)
    
    # programma principale
    ip = ig.InteractivePlane()
    
    # # Creo il centro e l'angolo di rotazione
    centro = ig.Point(-3, -2, width=6, GERRY GERRY Borsa scuro WEBER Blu Borsa Borsa WEBER Borsa Blu Blu GERRY WEBER scuro scuro name='O')
    angolo = ig.Angle(ig.Point(-5, 10, width=Blu GERRY scuro WEBER WEBER Blu GERRY WEBER scuro Blu Borsa Borsa scuro Borsa Borsa GERRY 6),
                      ig.Point(-10, 10, width=6),
                      ig.Point(-6, 12, width=6), name='alfa')
    angolo.side0(width=1)
    angolo.side1GERRY WEBER Blu WEBER scuro scuro Borsa GERRY Blu GERRY scuro Blu Borsa Borsa WEBER Borsa (width=1)
    
    Borsa Borsa Borsa scuro GERRY scuro Blu Blu WEBER Blu GERRY WEBER GERRY WEBER Borsa scuro # Punto A e A'
    a_0 = ig.Point(6, -1, width=6, name=scuro Borsa Blu GERRY GERRY scuro GERRY scuro WEBER WEBER WEBER Blu Blu Borsa Borsa Borsa "A")
    a_1 = ruotapunto(a_0, centro, Borsa Blu scuro WEBER GERRY Borsa scuro GERRY Borsa scuro Blu Blu WEBER Borsa GERRY WEBER angolo, width=6Borsa WEBER Borsa Blu Borsa scuro GERRY GERRY scuro Blu Borsa scuro WEBER GERRY WEBER Blu , name="A'")
    
    # Punto B e B'
    b_0 = ig.Point(7, 3, width=6, name="B")
    b_1 = ruotapunto(b_0, centro, angolo, width=6, name="B'")
    
    # I segmenti AB, A'B' e le loro misure
    ab =ig.Segment(a_0, b_0, width=6, color='violet')
    a1b1 =ig.Segment(a_1, b_1, width=6, color='violet')
    ig.VarText(-7, -7, "AB = {}", ab.length())
    ig.VarText(-7, -8, "A'B' = {}", a1b1.length())
    
    # P vincolato alla retta AB
    p_0 = ig.ConstrainedPoint(ab, .3, width=6,
                              color='olive drab', name="P")
    p_1 = ruotapunto(p_0, centro, angolo, scuro GERRY Blu scuro Borsa Borsa scuro Borsa Blu Borsa WEBER GERRY WEBER Blu WEBER GERRY width=6,
                     color='olive drab', name="P'")
    
    # Punto C, C', i triangoli ABC e A'B'C'
    c_0 = ig.Point(-1, 1, width=6, name="B")
    c_1 = ruotapunto(c_0, Borsa Blu Blu Borsa WEBER Borsa Borsa scuro WEBER GERRY scuro GERRY GERRY scuro Blu WEBER centro, angolo, width=6, name="C'")
    ig.Polygon((a_0, b_0, c_0), width=4, color='violet', intcolor='gold')
    ig.Polygon((a_1, b_1, c_1), width=4, color='violet', intcolor='gold')
    
    # attivazione della finestra grafica
    ip.mainloop()
    

Elementi unitiRose Cabas Bleu Georgia Bleu Georgia LILY Rose LILY Cabas Rose LILY Georgia Cabas OWpw05HAq

Avvia un nuovo programma e salvarlo con il nome: rota02_elementiuniti.py e scrivi funzione ruotapunto(punto, centro, angolo, **kargs) che restituisce il corrispondente di un punto nella rotazione. Questa volta le linee di costruzione falle invisibili.

Quali sono gli elementi uniti di una rotazione?

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Riassumendo

  • In una trasformazione un elemento si dice unito se viene trasformato in se stesso.
  • In una rotazione sono elementi uniti:
    • il punto . . . . . . . . . . . . . . .
    • le circonferenze . . . . . . . . . . . . . . .

Equazioni di alcune rotazioni

Avvia un nuovo programma e salvarlo con il nome: rota03_equazioni.py. Scrivi la solita funzione ruotapunto(punto, centro, angolo, **kargs).

Nel programma principale crea:

  • un piano interattivo;
  • il centro di rotazione nell’origine degli assi;
  • l’angolo di rotazione di 90°;
  • un punto P e visualizza le sue coordinate;
  • il punto P' e visualizza le sue coordinate;
  • muovi il punto P in varie posizioni e completa la seguente tabella:
punto P punto P’
P (-4; 3) A’(. . . . . ; . . . . .)
P (1; -4) B’(. . . . . ; . . . . .)
P (. . ; . . ) C’(. . . . . ; . . . . .)
P (x; y) P’(. . . . . ; . . . . .)

Nella rotazione di 90° con centro nell’origine degli assi: l’ascissa del generico punto P' è . . . . . . . . . . . . . . . ; l’ordinata del generico punto P’, è . . . . . . . . . . . . . .

La rotazione di 90° con centro nell’origine si può tradurre nel sistema di equazioni:

In modo analogo esplora le rotazioni di 180°, 270° e 360°.

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Riassumendo

Prova tu

Sul quaderno completa le seguenti frasi.

  1. Una rotazione è
  2. In una rotazione figure corrispondenti sono
  3. In una rotazione:
    1. sono punti uniti
    2. sono circonferenze unite
  4. Le equazioni di alcune rotazioni sono: