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Come si nega un’implicazione?

La proposizione £$ p \Rightarrow q $£ è equivalente a £$ \overline q \Rightarrow \overline p. $£

Ad esempio:

£$ P \Rightarrow Q$£: ‘‘Se è una zebra allora ha le strisce.’’

è equivalente a:

£$ \overline Q \Rightarrow \overline P $£: ‘‘Se non ha le strisce, allora non è una zebra!’’

Devo invertire £$P$£ con £$Q$£! Infatti se fosse £$ \overline P \Rightarrow \overline Q, $£ sarebbe:

“Se non è una zebra, allora non ha le strisce!” ... Invece la tigre non è una zebra, ma ha le strisce!

Questo lo si dimostra utilizzando la tavola di verità:

£$\begin{array}{*{20}{|c|c|c|c|}}\hline P & Q & P \Rightarrow Q & \overline Q & \overline P & \overline Q \Rightarrow \overline P \\ \hline V & V & V & F & F & V \\ \hline V & F & F & V & F & F \\ \hline F & V & V & F & V &V \\ \hline F & F & V & V & V & V \\ \hline\end{array}$£

Infatti la terza colonna e la sesta sono uguali e quindi le espressioni sono equivalenti.

La riflessività dell'implicazione: £$ \pmb{P}$£ implica se stessa? Sì!

£$ P \Rightarrow P = V $£ cioè è una tautologia.

Ad esempio:

£$ p \Rightarrow p $£ : "Se il mio gatto è bianco, allora è bianco!"

In questo caso la tabella è:

£$\begin{array}{*{20}{|c|c|c|c|}}\hline P & Q=P & P \Rightarrow Q \\ \hline V & V & V \\ \hline F & F & V \\ \hline\end{array}$£

Come trasformo l’implicazione in un’espressione equivalente che contiene la negazione e la disgiunzione?

Esempio: ‘‘Se non sbaglio, Granada è in Spagna!’’

£$p \Rightarrow q$£

L'implicazione può essere riscritta utilizzando la negazione e la disgiunzione:

‘‘O mi sbaglio, o Granada è in Spagna!’’

£$ \overline p \vee q $£

In questo modo abbiamo legato l’implicazione alla disgiunzione ed alla negazione: £$ p \Rightarrow q = \overline p \vee q $£

Questo lo si può verificare mediante la tavola di verità:

£$\begin{array}{*{20}{|c|c|c|c|}}\hline P & Q & P \Rightarrow Q & \overline P & \overline P \vee Q \\ \hline V & V & V & F & V \\ \hline V & F & F & F & F \\ \hline F & V & V & V & V \\ \hline F & F & V & V & V \\ \hline\end{array}$£

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Come si vede la terza e la quinta colonna sono uguali e quindi le espressioni sono equivalenti.

Come trasformo l’implicazione in un’espressione equivalente che contiene la negazione e la congiunzione?

Dalla proprietà che lega negazione e disgiunzione e dalle leggi di De Morgan possiamo ricavare direttamente la negazione con la congiunzione senza utilizzare le tavole di verità:

£$ P \Rightarrow Q= \overline P \vee Q= \overline P \vee \overline {\overline Q} = \overline {(P \wedge \overline Q)}$£

Otteniamo:

£$ P\Rightarrow Q = \overline {(P \wedge \overline Q)} $£

Ad esempio:

‘‘Se non mi invita, allora non vado.’’ £$=$£ ‘‘Non è che non mi invita e vado.’’

Come si legano 3 implicazioni?

Utilizziamo la proprietà transitiva:

£$ [(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)] \Rightarrow (p \Rightarrow r) = V $£

Ad esempio:

Se £$p \Rightarrow q:$£

"Se c’è il sole, allora vado al mare"

£$q \Rightarrow r:$£

"Se vado al mare, allora porto il salvagente"

allora £$p \Rightarrow r$£:

"Se c’è il sole, allora porto il salvagente".

La coimplicazione è facile da negare! Infatti la negazione della coimplicazione si ottiene facendo la coimplicazione delle due proposizioni negate:

£$ (p \Leftrightarrow q)= (\overline p \Leftrightarrow \overline q)$£:

£$p$£: “Questo è un triangolo isoscele”

£$q$£: “Questo triangolo ha due lati uguali”

£$p \Leftrightarrow q$£:

“Questo è un triangolo isoscele se e solo se ha due lati uguali”

La negazione è:

"Non è un triangolo isoscele se e solo se non ha due lati uguali”

La riflessività della coimplicazione lega una proposizione con se stessa, quindi è una tautologia:

£$ (p \Leftrightarrow p)= V$£ ovvero, ogni proposizione è condizione necessaria e sufficiente di se stessa.

Ad esempio:

“il mio gatto è bianco se e solo se il mio gatto è bianco”.

La simmetria lega due proposizioni:

£$ (p \Leftrightarrow q) = (q \Leftrightarrow p) $£

Ad esempio:

£$p$£: “Questo poligono è un quadrilatero”

£$q$£: “Questo poligono ha quattro lati”

£$ p \Leftrightarrow q$£: “questo poligono è un quadrilatero se e solo se ha quattro lati”

£$ q \Leftrightarrow p$£: “questo poligono ha quattro lati se e solo se è un quadrilatero”.

La transitività lega tre proposizioni:

£$ [(p \Leftrightarrow q) \wedge (q \Leftrightarrow r)] \Rightarrow (p \Leftrightarrow r) = V$£

Ad esempio:

£$ p \Leftrightarrow q $£: “metto il salvagente se e solo se faccio il bagno”

e £$ q \Leftrightarrow r$£: “faccio il bagno se e solo se fa caldo”

Questo implica che:

£$ p \Leftrightarrow r$£ “Metto il salvagente se e solo se fa caldo”